Cinderella Blog - Lineare Algebra

Drehstreckung.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Fri, 15 Jun 2007 16:20:33 +0200

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Matrix einer Drehstreckung.

Der Punkt v₁ und alle Punkte des Hauses sind bewegbar.

IterierteDrehstreckung.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Fri, 15 Jun 2007 16:17:31 +0200

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Iteration einer Drehstreckung

Der Punkt v₁ und alle Punkte des Hauses sind bewegbar.

Drehung1.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Fri, 15 Jun 2007 16:01:29 +0200

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Berechnung einer Drehmatrix

Matrix4.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Fri, 08 Jun 2007 15:33:43 +0200

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Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.

Interpolation.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Wed, 06 Jun 2007 14:51:52 +0200

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Berechnung einer Lagrange Interpolation durch n Punkte:

Der Algorithmische Kern der Berechnung ist:

pts=allpoints();

xs=apply(pts,#.x);
ys=apply(pts,#.y);
n=length(pts);

//Hier wird nun die Interpolation berechnet

f(x,i):=product(1..n--[i],j,x-xs_j);
p(x,i):=f(x,i)/f(xs_i,i)*ys_i;
p(x):=sum(1..n,i,p(x,i));

//Und hier nur noch gemalt

plot(p(x));

Hermite.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Tue, 05 Jun 2007 18:30:18 +0200

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Berechnung eines stückweise kubischen
Hermite Splines. Die Höhe der Stüzpunkte
und die Steigungen sind einstellbar.

pts=[A,B,C,D,E];
n=length(pts);

forall(1..n,(pts_#).x=#);

p1(x):=(1-x)^2*(1+2*x);
p2(x):=(3-2*x)*x^2;

q1(x):=x*(1-x)^2;
q2(x):=-x^2*(1-x);

f(y1,y2,h1,h2,x):=y1*p1(x)+y2*p2(x)+h1*q1(x)+h2*q2(x);

plot(f(A.y,B.y,a.slope,b.slope,x-1),start->1,stop->2,size->2);
plot(f(B.y,C.y,b.slope,c.slope,x-2),start->2,stop->3,size->2);
plot(f(C.y,D.y,c.slope,d.slope,x-3),start->3,stop->4,size->2);
plot(f(D.y,E.y,d.slope,e.slope,x-4),start->4,stop->5,size->2);

InterpolParam.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Tue, 05 Jun 2007 17:18:48 +0200

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Parametrische Lagrange Inerpolation
durch 5 Punkte in zwei Dimensionen.

pts=allpoints();

xs=apply(pts,#.x);
ys=apply(pts,#.y);
n=length(pts);
ts=1..n;

f(t,i):=product(1..n--[i],j,t-ts_j);

px(t,i):=f(t,i)/f(ts_i,i)*xs_i;
py(t,i):=f(t,i)/f(ts_i,i)*ys_i;

px(t):=sum(1..n,i,px(t,i));
py(t):=sum(1..n,i,py(t,i));

plot((px(t),py(t)),start->1, stop->n,size->2,color->(0.8,0,0));

PowersOfZ.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Fri, 18 May 2007 09:50:24 +0200

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Powers of the complex number z.

RootsOfAPolynomial.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Thu, 17 May 2007 22:56:43 +0200

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Explorer for the roots of a real polynomial.
You can change the polynomial by moving the
white points.

The roots (solutions of p(x)=0) are drawn as little dots.
Also complex roots are shown (as red dots).
For the representation of complex roots the plane is
identified with the complex number plane.

Observe that the complex roots occur in pairs.
For each complex root its complex conjugate is also a root.

UnitRoots.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Wed, 16 May 2007 09:57:33 +0200

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Computing the k-th unit roots.

TaylorSine.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Mon, 14 May 2007 09:32:41 +0200

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Taylor series of the function sin(x).
You can move point A and watch how
the series approximates the function.

ComplexPolynomial.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Sun, 13 May 2007 18:00:30 +0200

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Image of a circle under a function.

Fundamentalsatz.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Sun, 13 May 2007 17:55:49 +0200

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Applet for online explanation of the fundamental theorem of algebra.

ComplexFunction.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Fri, 11 May 2007 00:56:28 +0200

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An applet for experimenting with complex functions.

Z2Grid.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Thu, 26 Apr 2007 16:10:52 +0200

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Gitter von Punkten aus welches von 2 Vektoren a und b erzeugt wird.
Das Gitter umfassst alle Punkte die sich als n*a+m*b schreiben lassen,
wobei n und m ganze Zahlen sind. Das entstehende Gitter ist isomorph
zur additiven Gruppe Z² (sofern a,b und der Nullpunkt
nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen).

Die hellroten Punkte sind bewegbar.

CubicSpline.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Sat, 21 Apr 2007 13:31:11 +0200

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Berechnung eines Kubischen Splines durch Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Alle Punkte können bewegt werden. Der Übergang an den zwei inneren Punkte ist sogar krümmungsstetig,

Das zugehörige Programm ist:

A.x=1; B.x=2; C.x=3; D.x=4; h1=(E-A).y/(E-A).x; h2=(F-D).y/(F-D).x; m=[ [1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0], [8,4,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,8,4,2,1,0,0,0,0], [0,0,0,0,27,9,3,1,0,0,0,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,27,9,3,1], [0,0,0,0,0,0,0,0,64,16,4,1], [3,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0], [12,4,1,0,-12,-4,-1,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,27,6,1,0,-27,-6,-1,0], [0,0,0,0,0,0,0,0,48,8,1,0], [12,2,0,0,-12,-2,0,0,0,0,0,0], [0,0,0,0,18,2,0,0,-18,-2,0,0] ]; v=[A.y,B.y,B.y,C.y,C.y,D.y,h1,0,0,h2,0,0]; a=Linearsolve[m,v]; plot[x^3*a_1+x^2*a_2+x*a_3+a_4,start->1,stop->2]; plot[x^3*a_5+x^2*a_6+x*a_7+a_8,start->2,stop->3]; plot[x^3*a_9+x^2*a_10+x*a_11+a_12,start->3,stop->4];

Incircle.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Fri, 20 Apr 2007 17:20:54 +0200

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"Inkreis" Prädikat durch Auswerten einer Determinante.
Verlaufen A,B,C gegen den Uhrzeigersinn auf dem Kreis, so ist das Vorzeichen der Determinante positiv
wenn Punkt D im Inneren liegt. Verlaufen A,B,C im Uhrzeigersinn, so ist das Vorzeichen positiv wenn D aussen liegt.

TensionDemo2.cdy

richter@cinderella.de (Jürgen Richter-Gebert) — Tue, 10 Apr 2007 21:51:12 +0200

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Calculating the equilibrium of a spring network.